Problemas de optimización y Soluciones en Cálculo

El cálculo nombre proviene de la palabra latina para una pequeña piedra utilizada para el recuento. Cálculo tiene muchas aplicaciones en matemáticas y ciencias y una de estas aplicaciones es en la resolución de problemas de optimización . Logramos esto mediante el uso de cálculo diferencial para encontrar el máximo de una función , lo que suele ser el punto de optimización. La derivada

En cálculo , la derivada de una función sencilla en un punto dado puede ser pensado como la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto . Nos encontramos con la derivada de una función en el proceso de diferenciación. Para una función simple tal como f ( x ) = x ^ una , la primera derivada está dada por f ' ( x ) = a ( x ^ (A- 1 ) ) . Esta primera derivada se puede diferenciar de nuevo utilizando el mismo proceso exacto para dar una segunda derivada de la función . Se requieren ambas primera y segunda derivada para resolver problemas de optimización .
Máximos y mínimos

Para una función que produce un gráfico curvo con máximos y mínimos finito, los máximos o mínimos de esa parcela aparecerá como picos y valles. En la parte superior exacto de un pico o fondo de un valle , la recta tangente será perfectamente horizontal y por lo que tendrá una pendiente de cero. Así los máximos o mínimos de una función se producirán en los puntos en su derivado es igual a cero . Para encontrar los máximos y mínimos de una función, todo lo que se necesita es tomar su primera derivada , establezca la derivada a cero , y luego resolver la ecuación resultante.
Finding Máximos y mínimos

la primera derivada , sólo se buscan los puntos que son máximos o mínimos , pero no diferencia entre los dos. Sin embargo , como una función pasa por un máximo , la velocidad de cambio en la pendiente de su línea tangente es negativa , por lo que la segunda derivada de la función en un máximo será negativo . Del mismo modo , la segunda derivada será positivo en un mínimo.
Problemas de optimización

mayoría de los problemas de optimización describir una situación física para la que se requiere la optimización . Las condiciones óptimas se encuentran por primera traducción de la situación en una función , a continuación, encontrar el valor en el que dicha función tiene un máximo . Para encontrar el máximo , se toma la primera derivada de la función , ajustado a cero y resolver. Para asegurar el valor resultante da un resultado máximo (en oposición a un mínimo ) , se toma la segunda derivada de la función y se examinó para asegurarse de que es negativo .
Una optimización Ejemplo

Un granjero tiene una huerta de 50 árboles de manzana , cada una de las cuales producen 800 manzanas por año . Si él planta más árboles , recibirá manzanas adicionales de esos árboles , pero cada árbol en la huerta por encima de 50 reduce las manzanas por árbol por 10. ¿Cuántos árboles adicionales deberían plantarse para obtener la mayor cantidad posible de manzanas ? Si x es el número de árboles adicionales , las manzanas en total por año es f ( x ) = ( 50 + x) ( 800 - 10x ) = 40.000 + 300x - 10x ^ 2 . La primera derivada de esta función es f '(x ) = 300 - 20x , por lo que el valor óptimo de x ocurriría cuando 300 - . . 20x = 0 Resolviendo para x 15 da como un doble -check, la segunda derivada es f' ' ( x) = -20 , que es negativo; Por lo tanto, este es un máximo . Así que el agricultor debe sembrar 15 árboles más para obtener el óptimo de cosecha de manzanas.