Cómo encontrar concavidad y los puntos de inflexión

Funciones matemáticas se pueden representar como curvas en un plano cartesiano . Dependiendo de la forma , una curva puede ser cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo . Los puntos de inflexión son los puntos donde la concavidad de la curva cambia de arriba a abajo o viceversa. Cálculo utiliza el derivado para encontrar la pendiente ( inclinación ) de todos los puntos de una curva y la segunda derivada para encontrar la concavidad y los puntos de inflexión de una curva . Instrucciones Matemáticas 1

Anote la ecuación de la curva, en términos de Y y X.

Por ejemplo, consideremos la curva Y = f ( X) = X ^ 2 y el curva Y = g ( X) = sin ( X)
2

Calcular las segundas derivadas de las funciones

Desde nuestro ejemplo: .

f ( X) = X ^ 2 Foto

f '(x ) = 2x [ primera derivada ]

f '' (x ) = 2 [ segunda derivada ]

g ( X) = sin (X )

g '(x) = cos ( X) [ primera derivada ]

g '' (X ) = -sin ( X) [ segunda derivada ]

3

Compruebe el valor de la segunda derivada en el intervalo que desea evaluar . La concavidad se encuentra en partes de una curva de manera que se requiere un intervalo para determinar concavidad . Si la segunda derivada es mayor que cero ( positiva ) , la curva es cóncava hacia arriba . Si la segunda derivada es menor que cero (negativo ) , la curva es cóncava hacia abajo

Desde el ejemplo :

f '' (x ) = 2; . desde la segunda derivada es 2 , independientemente del valor de X, la curva es cóncava hacia arriba ( 2 > 0 ) .

g '' (x ) = - sen ( x) en el intervalo ] 0 , ( PI /2 ) [ y el intervalo ] (PI /2 ) , PI [

Ya -sin ( X) > 0 en el intervalo ] 0 , ( PI /2 ) [; Por lo tanto, la curva es cóncava hacia arriba .

Desde - sin (x) <0 en el intervalo ] (PI /2 ) , PI [; por tanto, la curva es cóncava hacia abajo .
4

Compruebe el valor de la segunda derivada de ceros. Si el segundo derivado tiene un valor igual a cero , entonces la curva tiene un punto de inflexión

Desde el ejemplo :

f '' (x ) = 2; . desde la segunda derivada es 2 , independientemente del valor de X, no hay puntos de inflexión en esta curva .

g '' (x ) = - sen ( x) en el punto X = 0 .

Como g '' ( 0 ) = -sin ( 0 ) = 0, no hay un punto de inflexión en x = 0 .