Cómo calcular la distancia entre dos puntos en una curva

. Muchos estudiantes tienen dificultad para encontrar la distancia entre dos puntos de una línea recta , es más difícil para ellos cuando tienen que encontrar la distancia entre dos puntos a lo largo de una curva
en este artículo , a propósito de un problema de ejemplo le mostrará cómo encontrar este distance.Things que necesitará
Papel y lápiz

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Para hallar la distancia entre dos puntos a ( x1, y1 ) y B (x2, y2 ) en una línea recta en el plano xy , utilizamos la fórmula de la distancia , que es ...
d (AB ) = √ [( x1- y1) ^ 2 + ( x2 - y2 ) ^ 2 ] . Ahora vamos a demostrar cómo funciona esta fórmula por un problema de ejemplo . Por favor, haga clic en la imagen para ver cómo se hace esto .
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Ahora vamos a calcular la distancia entre dos puntos A y B en una curva definida por una función f ( x) en un intervalo cerrado [ ,"a, b ] . Para encontrar la distancia que debemos utilizar la fórmula s = √ La integral , entre el límite inferior , a, y el límite superior , b, del integrando ( 1 + [ f '(x )] ^ 2 ) con respecto a la variable de integración , dx . Por favor, haga clic en la imagen para una mejor visión .
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La función que vamos a utilizar como un problema de ejemplo , en el intervalo cerrado [ 1,3] , es ...
f ( x ) = ( 1/2 ) [ ( x 4 ) √ [ ( x 4 ) ^ 2-1 ] - ln [ ( x 4 ) + √ [ ( x 4 ) ^ 2 -1 ] ] ] . la derivada de esta función , es ...
f ' ( x ) = √ [ ( x 4 ) ^ 2-1 ] , ahora vamos a cuadrar ambos lados de la función de la derivada . Es [f '(x )] ^ 2 = [√ [( x 4 ) ^ 2-1 ] ] ^ 2 , lo que nos da
[f ' (x )] ^ 2 = ( x + 4 ) ^ 2 - 1. ahora sustituimos esta expresión en la longitud fórmula arc /Integral de , s . . . entonces Integrar

Haga clic en la imagen para una mejor comprensión
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Entonces por sustitución, tenemos lo siguiente :
S = La integral , entre la más baja límite , 1 , y el límite superior , 3 , de la √ integrando ( 1 + [ f ​​' ( x ) ] ^ 2 ) = el integrando √ ( 1 + ( x + 4 ) ^ 2 - 1 ) .
que es igual a √ ( ( x + 4 ) ^ 2 ) . Mediante la realización de la primitiva en esta integrando, y por el teorema fundamental del cálculo , obtenemos ...
{ + 4x [( x ^ 2 ) /2 ]} en el que primero sustituimos el límite superior , 3 y partir de este resultado , se resta el resultado de la sustitución del límite inferior, 1 Eso es { [( 3 ^ 2 ) /2 ] + 4 ( 3 ) } - . { [( 1 ^ 2 ) /2 ] + 4 ( 1 ) } que es igual a { [ ( 9/2 ) + 12 ] } - { [ ( 1/2 ) + 4 ] } = { ( 33/2 ) - ( 9/2 ) } que es igual a ( 24 /2) = 12 . Así que la longitud de arco /distancia de la función /curva en el intervalo [ 1,3] , es decir, 12 unidades.