Definición de Análisis Numérico

Análisis numérico es una rama de las matemáticas aplicadas que se ocupan de la búsqueda de técnicas eficientes para aproximar soluciones exactas a las matemáticas y problemas de la computadora . Mientras que la matemática pura se ocupa de establecer la existencia y unicidad de soluciones a los problemas, el análisis numérico se refiere a la búsqueda de aproximaciones a los valores exactos que están lo suficientemente cerca como para ser utilizado en situaciones del mundo real . La raíz cuadrada de 2 , por ejemplo, es una solución de la ecuación x ^ 2 - . 2 = 0 En el análisis numérico , sin embargo , debería estudiar las técnicas para aproximar la raíz cuadrada de 2 Computer Arithmetic
Los números reales pueden. suele ser sólo aproximada en una computadora, que es la principal herramienta de análisis numérico . Por lo que es una preocupación central de cómo se genera mucho error en esas aproximaciones.

La principal herramienta de análisis numérico es un ordenador. Un tema central es cómo se representan los números como pi o la raíz cuadrada de 3 , cuyos valores exactos suelen requerir cantidades infinitas de dígitos , en el ordenador. No es posible ser exacta ya que no hay suficiente memoria para representar dígitos infinitos. Por lo tanto , los números se cortan después de un cierto número de dígitos o redondeados . Estudios de análisis numéricos como controlar los errores que se pueden propagar y amplificar por cualquier método.

Errores
Pequeños errores en el cálculo pueden dar lugar a grandes errores en los resultados. En análisis numérico , se desarrollan técnicas para controlar el error . Procesos

Infinite deben ser aproximadas en el mundo real por los finitos . Piense en el problema de representar la raíz cuadrada de 2 . Si la precisión no es un problema, 1 podría hacer. Pero 1.4 será mejor. Mejor aún es 1,41 y aún más exacto es 1.414 . Podríamos seguir el proceso indefinidamente , cada vez cada vez más cerca al valor real de la raíz cuadrada de 2 . Pero no hay suficiente tiempo ni memoria en todas las computadoras en el universo para obtener exactamente . Así que nos paramos en algún lugar y decidimos que alguna representación , por ejemplo, 1.414213562373 está lo suficientemente cerca del valor real de ser lo que queremos decir con la raíz cuadrada de 2 . Por supuesto, eso significa que habrá un cierto error inherente en nuestros cálculos . El error resultante de la detención de un proceso infinito en algún momento se denomina " error de truncamiento ", y el control y la comprensión de que es un tema central en el análisis numérico .
Raíces polinómicas
procesos iterativos como los utilizados para el cálculo de fractales son importantes en el análisis numérico .

Una de las principales aplicaciones de análisis numérico es la aproximación de las raíces de los polinomios cuando las soluciones exactas no se pueden encontrar . Esto se hace generalmente por iteración - es decir, por la elección de una primera aproximación (a menudo una conjetura ) y la aplicación de una fórmula . El valor resultante se pone a través de la misma fórmula y el proceso continúa hasta que el valor alcanzado después de la iteración más reciente es dentro de una tolerancia preestablecida del valor exacto . Un proceso iterativo importante estudiado en el análisis numérico , por ejemplo, es el método de Newton para aproximar las raíces .
Numérico cuadratura
Uno de los temas de análisis numérico es aproximar el área bajo las curvas como parábolas y catenarias . Este es el Gateway Arch en St. Louis es un ejemplo de una catenaria aplanada.

En cálculo , se aprende a calcular el área bajo la curva en el plano mediante la búsqueda de una cantidad importante que se llama el "anti- derivada. " Los problemas en su libro son cuidadosamente seleccionados para que la integral se puede encontrar . Pero en el mundo real, esto antiderivada misteriosa no siempre existe o es poco práctico de encontrar. En el análisis numérico se aprende a aproximar el área bajo la curva , incluso cuando la integral no existe. Esto se logra mediante el uso de trapecios o rectángulos o incluso más general formas para estimar porciones de la zona y luego sumarlas . El proceso de estimación de tales áreas es un tema importante en el análisis numérico y se llama cuadratura numérica.
Álgebra Lineal

En análisis numérico, se estudia el proceso de solución de sistemas de ecuaciones lineales con gran detalle y considerar diferentes estrategias para hacer frente a los errores de redondeo que dan lugar a este tipo de problemas de aritmética computacional . El número de pasos necesarios para las técnicas de álgebra lineal elemental utilizando matrices se calcula y se compara con las alternativas para determinar cuál sería el mejor para su uso. Otro tema importante es encontrar la mejor línea que se adapte a una colección de datos , también llamado el problema de mínimos cuadrados.
Ecuaciones Diferenciales
En análisis numérico, se estudia las técnicas para encontrar soluciones aproximadas a la ecuación que rige el movimiento de un péndulo .

En el nivel superior o cursos de matemáticas de posgrado , los estudiantes pasan un tiempo considerable aproximar las soluciones a las ecuaciones diferenciales . Estas son ecuaciones que primero y más altas derivadas de orden y sus poderes. Un derivado es la tasa de cambio de una variable con respecto a otra . Un ejemplo de un derivado es la velocidad de un automóvil y la velocidad de cambio de su posición con respecto al tiempo . Ecuaciones diferenciales pueden ser extremadamente difíciles de resolver y pueden no prestarse para exigir soluciones. Pero el análisis numérico da un medio para aproximar una solución a cualquier grado de precisión.