¿Cómo deshacerse de Arctan

expresiones trigonométricas pueden ser desagradables . Así que es una lástima que surgen una y otra vez en las soluciones a los problemas que no tienen nada que ver con la geometría. La tangente inversa o arctan , es un buen ejemplo. El arctan aparece en todo tipo de problemas relacionados con la población , el estrés mecánico, la propulsión de cohetes --- el arctan parece estar en todas partes . Sin embargo , un desarrollo en serie para el arco tangente , que fue descubierto hace unos cientos de años puede venir muy bien hoy. Instrucciones Matemáticas 1 La derivada del arco tangente es una bonita expresión algebraica , limpio, a fin de tomar ventaja de eso cuando se puede .

Reemplace todas las expresiones que contienen el derivado del arco tangente . Si el arctan aparece como un derivado , como en d /dx ( arctan (ax ) ) , se puede sustituir fácilmente, ya que la derivada de la arco tangente es 1 /( 1 + x ^ 2 ) .
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Reemplazar el arctan por su desarrollo en serie infinita , descubierta por James Gregory en el siglo 17

arctan (x ) = x - . x ^ 3 /3 + x ^ 5/5 - x ^ 7/7 + x ^ 9/9 - ....
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Determinar la precisión requerida del problema , y le cortó la serie infinita en el punto donde se excede esa precisión. Es decir, siguen agregar términos a la serie hasta que un término es más pequeña que la precisión deseada . Por ejemplo , si el 1 por ciento de exactitud es aceptable que un problema en el que x = 0.74 , debería seguir añadiendo términos a la expansión hasta que un término es menor que 1 por ciento de los 0,74 . El quinto término , x ^ 9/9 es igual a 0,00739 . La división que por 0,74 da como resultado una respuesta menor que 0.001 . Cada período adicional será más pequeño y se puede ignorarlos y alcanzar la precisión deseada del 1 por ciento.