Problemas en el Cálculo de Variaciones

Aunque el cálculo puede parecer esotérico y teórico , en realidad es uno de los campos más prácticas de las matemáticas . En particular , el cálculo de variaciones se utiliza para calcular las fuerzas , minimizar los costes , cohetes diseño y control de equipos industriales . Los métodos son relativamente simples --- al menos para ciertas clases de problemas --- pero incluso los métodos más complejos son más poderosos de lo que parecen . El Problema Primal

El principal ejemplo frecuentemente citado de un problema en el cálculo variacional se afirma en el problema de la reina Dido . La mítica reina se le dio la capacidad de gobernar sobre cualquier tierra que podía cubrir con la piel de una vaca. Ella tomó la piel de vaca y se corta en tiras delgadas , atándolas juntas para hacer un lazo largo . Su problema era tomar ese bucle y lo utilizan para describir el reino más grande posible. Eso es un problema en el cálculo de variaciones .
Creación de instrumentos

A finales de 1700 , Isaac Newton estableció sobre el problema de diseño de un cuerpo que tendría una resistencia mínima al volando por el aire . Esta es la marca de los problemas variacionales . Hay una cantidad --- resistencia del aire --- que depende de otro conjunto de parámetros --- la forma de la superficie . La idea es encontrar el conjunto de parámetros que minimiza o maximiza la cantidad. El primer paso consiste en expresar la cantidad a ser minimizado como una función de los parámetros del problema . Ese primer paso que usted necesita para aplicar su conocimiento del problema; entonces usted puede aplicar las técnicas del cálculo de variaciones .
Un simple problema variacional de
eficiente trazar un campo es un problema en el cálculo de variaciones .

Un ranchero es con lo que en algunas ovejas que quiere mantener separado del resto de sus animales . Él tiene un canal de riego recta que va a usar como un lado de un recinto, y él tiene un kilómetro de valla para el resto . Él quiere cercar el mayor pastizal posible. ¿Cómo debería diseñar su cerca ?

En primer lugar, aplicar su conocimiento de fondo para expresar la cantidad que se maximiza. El área es igual a la longitud multiplicada por el ancho de la zona cerrada . Además , la longitud + 2 multiplicado por la anchura es igual a un kilómetro. Esto nos lleva a la ecuación:

area = ancho - 2 multiplicado por el ancho ^ 2 Foto

Ahora la expresión está listo para que usted aplique las técnicas de cálculo variacional

optimización simple

la forma más simple de optimización es el que está en este problema. La cantidad a ser maximizada es una expresión de una sola variable , y todo lo que necesita hacer es encontrar uno máximo. El proceso simple es tomar la derivada de la cantidad a ser maximizada con respecto a la variable . . . En este caso , el derivado de la zona con respecto a la anchura

d ( área) /d (ancho ) = 1 - 4 multiplicado por la anchura

SET que igual a cero; Esto le permitirá identificar un punto de inflexión --- un lugar donde la función original cambia su dirección . Ajuste de la derivada de este problema es igual a cero , se encuentra que la anchura es igual a 1/4 de un kilómetro.
Identificar máximos y mínimos

El proceso se describe en el párrafo anterior identifica un punto de inflexión en la curva de la cantidad a ser maximizada , pero aún no se ha distinguido un máximo de un mínimo de una " rodilla " en la curva . Otra prueba es necesario. Tome la segunda derivada de la curva . Si es negativo en el punto donde la primera derivada es cero , la curva está en un máximo . Si la segunda derivada es positiva allí, a continuación, la curva tiene un mínimo . Si la segunda derivada es cero, entonces no hay ni un máximo o mínimo de la curva original en ese punto.

Para el problema de ejemplo, la segunda derivada es -4 --- menos de cero --- cuyos medios que el área se maximiza cuando la anchura es de 1/4 de un kilómetro . Sólo para acabar con el problema, si el ancho es de 1/4 km, la longitud es de 1/2 km, y el área es de 1 /8 km ^ 2 .
El más breve de Presentaciones

Hay decenas , si no cientos, de los libros de texto sobre el cálculo de variaciones . Este ejemplo representa el tipo más sencillo de problema. Otros problemas que se pueden resolver con el cálculo variacional incluyen cosas tales como : encontrar el paquete de 1 galón que utiliza la menor cantidad de material; encontrar la luz camino lleva a través de una lente; determinar la cantidad correcta de inventario para tener a la mano para minimizar los costos totales; el diseño de la forma de insertar en frente de un motor a reacción para hacer la entrada de aire lo más suave posible . Estos ejemplos , por supuesto, son representativos de un campo mucho más amplio de problemas de acceso a las técnicas del cálculo de variaciones .