Cómo encontrar el volumen de un casquete esférico Usando Cálculo

El enfoque general de cálculo para calcular volúmenes de objetos con superficies curvas se basa en la teoría principal de la integración. En esencia , una chuletas hasta el objeto tridimensional en rodajas más pequeñas y más pequeñas , y se aproxima el volumen de cada una de esas porciones utilizando una forma más simple . Para encontrar el volumen de un casquete esférico , la formulación más sencilla es imaginar una pila de cilindros anchos , cortos en la parte superior de uno al otro . El volumen se calcula como la altura de cada uno de estos cilindros llega a cero , generando cada vez más finas approximations.Things que necesitará
lápiz
papel
calculadora ( opcional)
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Anotar la Red integral Matemáticas 1

Una Determine el diámetro o el radio de su casquete esférico en su parte más ancha .
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Determinar la altura del casquete esférico .
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Plaza de los números de los pasos 1 y 2, y los sumará . Divida este número por el doble del número que encontró en el paso 2 . Esto le da r, el radio de la esfera que el casquete esférico fue cortada .
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Escriba " V =" , seguido por el símbolo de la integración.
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Resta el número que encontró en el paso 2 de R, y escribir este número en la parte inferior del símbolo de la integración.
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Anote el valor de R en la parte superior del símbolo de la integración.
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Escriba pi, seguido de un paréntesis , después del símbolo de integración.
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cuadrado el valor de R , y escribir que después del paréntesis , seguido de un signo menos.
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Anote "x ^ 2 " , seguido por el paréntesis de cierre . Terminar de escribir la integral con "dx . "
Evaluando la integral
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Multiplicar pi en el paréntesis , dando pi * x ^ 2 se resta de una constante.
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Evaluar el primer término de la integral de multiplicar la constante por la altura del casquete esférico (en realidad , R - a, los dos extremos de la integral ) , y moverlo fuera de la integral. La ecuación ahora debe ser de la forma " V = C ( R - a) - [ integral definida de una R ] pi * x ^ 2 dx" , donde C es el cuadrado del pi R veces, y una es R menos la altura del casquete esférico
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las evalúa integrales restantes a 1/3 * pi * ( R ^ 3 ) - . 1/3 * pi * (a ^ 3 ) . Por lo tanto la fórmula general para el volumen de un casquete esférico es V = C ( R - a) - 1/3 * pi * ( R ^ 3 ) + 1/3 * pi * (a ^ 3 ) , donde C y un son tal como se describe en el Paso 2 , y R es como se describe en el paso 3 de la sección anterior .
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Sustituyendo ( " h " ) R menos la altura del casquete esférico para una , la evaluación de los cubos y la simplificación de los rendimientos de V = 1 /3 * pi * h ^ 2 * ( 3R - h ), la fórmula algebraica estándar para el volumen de un casquete esférico

.